Eşitliğin çarpma özelliği, iki eşit terimin çarpımları ortak bir değerle çarpıldığında eşitliğin geçerli olduğunu belirtir.
Bu, eşitliğin çarpımsal özelliği ile aynıdır. Hem aritmetik hem de cebirde önemlidir.
Bu bölüme geçmeden önce, eşitliğin özellikleri hakkındaki genel makaleyi gözden geçirdiğinizden emin olun.
Bu bölüm şunları kapsar:
- Eşitliğin Çarpma Özelliği Nedir?
- Eşitliğin Çarpma Özelliği Tanım
- Eşitliğin Çarpma Özelliğinin Tersi
- Eşitliğin Çarpma Özelliği Bir Aksiyom mudur?
- Eşitliğin Çarpma Özelliğine Örnek
Eşitliğin Çarpma Özelliği Nedir?
Eşitliğin çarpma özelliği, iki terim eşit olduğunda geçerlidir. Ortak bir terimle çarpıldıktan sonra hala eşittirler.
Buna bazen eşitliğin çarpımsal özelliği de denildiğini unutmayın.
Bu gerçek aritmetikte eşit terimleri bulmak için kullanılır. Cebirde, eşitliğin çarpımsal özelliği bilinmeyen bir terimi izole etmeye yardımcı olur. Bunun nedeni bölmenin çarpmanın tersi olmasıdır.
Eşitliğin Çarpma Özelliği Tanım
Eşit terimler eşit miktarlarla çarpılırsa, ürünler eşit olur.
Daha basit bir ifadeyle, bir denklemin iki tarafını aynı terimle çarpmak eşitliği değiştirmez.
Aritmetik tanımı şöyledir:
Eğer $a=b$ ise, $ac=bc$ olur (burada $a, b,$ ve $c$ reel sayılardır).
Eşitliğin Çarpma Özelliğinin Tersi
Tersinin de doğru olduğunu unutmayın. Yani, $a, b,$ ve $c$ reel sayılar olsun. Eğer $a\neq b,$ ise $ac\neq bc$ olur.
Eşitliğin Çarpma Özelliği Bir Aksiyom mudur?
Öklid eşitliğin toplama, çıkarma ve geçişli özellikleri hakkında yazmıştır. Eserinde bunlara “ortak kavramlar” adını vermiştir. Elementler. Ayrıca eşitliğin refleksif özelliğinin bir versiyonunu Ortak Kavram 4 olarak yazmıştır. Ancak, eşitliğin çarpma özelliğini dahil etmemiştir. Bunun nedeni muhtemelen düzlemsel geometrik ispatlarda çok fazla kullanılmamasıdır.
1800’lerde Giuseppe Peano bir aritmetik aksiyomlar listesi hazırladı. Bunlar, hiçbir kanıta ihtiyaç duyulmayan ifadeler anlamına geliyordu. Listesine çarpma işlemini dahil etmedi. Yine de liste genellikle toplama çarpma ile genişletilmiştir.
Peano sadece doğal sayılara uygulanır. Bunlar 0$’dan büyük tam sayılardır. Günümüzdeki aksiyom listelerinin çoğu bu özellikleri tüm reel sayılar için doğru kabul etmektedir.
Bu gerçekler açık gibi görünebilir. Ancak bunları listelemek çok önemliydi. Kanıta dayalı matematiğin yükselişe geçmeye başladığı dönemde matematiksel titizliği sağladı.
Sonlu doğal sayılar için eşitliğin çarpımsal özelliği çıkarılabilir. Hem eşitliğin aritmetik özelliği hem de eşitliğin yerine koyma özelliği kullanılarak elde edilir.
Ayrıca, $c\neq0$ için çarpma özelliği eşitliğin bölme özelliğinden çıkarılabilir. Aynı şekilde, eşitliğin bölme özelliği de eşitliğin çarpma özelliğinden çıkarılabilir. Bu gerçeğe rağmen, bu ikisi genellikle iki ayrı aksiyom olarak listelenir.
Örnek 3, eşitliğin çarpma özelliğinden eşitliğin bölme özelliğini türetmektedir. Alıştırma problemi 3, toplama ve yerine koyma özelliklerinden çarpma özelliğinin bir formunu türetmektedir.
Eşitliğin Çarpma Özelliğine Örnek
Eşitliğin diğer bazı özelliklerinin aksine, Öklid eşitliğin çarpma özelliğini ortak bir kavram olarak listelememiştir. Bu nedenle, buna dayanan herhangi bir ünlü Öklid ispatı yoktur.
Bununla birlikte, eşitliğin çarpma özelliği için pek çok kullanım alanı vardır. Özellikle, bir değişkenin bölünmesi söz konusu olduğunda, çarpma işlemi değişkeni izole edecektir.
Cebirde, değişkeni izole etmek onun değerini belirler. Örneğin, $\frac{x}{4}=6$ ise, o zaman:
$\frac{x}{4}\times4=6\times4$.
Bu da $x=24$ olarak basitleştirilir.
Örnekler
Bu bölüm, eşitliğin çarpma özelliğini içeren yaygın problem örneklerini ve bunların adım adım çözümlerini kapsamaktadır.
Örnek 1
Diyelim ki $a=b$ ve $c$ ve $d$ reel sayılar olsun. Aşağıdaki çiftlerden hangisi eşit olmalıdır?
- ac$ ve $bc$
- ad$ ve $bd$
- ac$ ve $dc$
Çözüm
İlk iki ürün çifti eşittir, ancak sonuncusu eşit değildir.
a=b$ olduğundan, $a$ ve $b$’yi herhangi bir ortak değerle çarpmak, elde edilen çarpımları eşit yapar. c$ kendisine eşit olduğundan, $ac=bc$ olur.
Aynı şekilde, $d$ kendisine eşit olduğundan, $ad=bd$ olur.
c$ kendisine eşitken, $a$ ve $d$’nin eşit olduğu bilinmemektedir. Bu nedenle, $ac$ ve $dc$’nin de eşit olduğu bilinmemektedir.
Örnek 2
Markette muz ve kabağın her ikisinin de kilosu 49 senttir. Ali her birinden tam 5 pound satın alıyor. Ali’nin muz için harcadığı miktar kabak için harcadığı miktarla karşılaştırıldığında nasıldır?
Örnek 2 Çözüm
b$ bir kilo muzun maliyeti ve $s$ bir kilo kabağın maliyeti olsun. Bu durumda, $b=0,49$ ve $s=0,49$ olur. Böylece, $b=s$ olur.
Ali 5 kilo muz satın alır. Böylece muz için 5 milyar $ harcıyor.
Aynı şekilde, beş kilo kabak satın aldığına göre, kabak için 5$ harcıyor.
b=s$ olduğundan, eşitliğin çarpımsal özelliği, $a$ bir sayı olduğunda $ab=as$ olduğunu belirtir. Bu durumda, $5b=5s$ olur.
Yani, Ali muza harcayacağı miktarı kabağa da harcayacaktır.
Çözmek verir:
$5*0.49=2.45$
Böylece, Ali muza 2,45 dolar ve kabağa 2,45 dolar harcıyor.
Örnek 3
Eşitliğin bölme özelliğini çıkarmak için eşitliğin çarpma özelliğini kullanın.
Örnek 3 Çözüm
a, b,$ ve $c$ reel sayılar olsun ve $a=b$ olsun. Eşitliğin çarpma özelliği $ac=bc$ olduğunu belirtir.
Bu gerçeği eşitliğin bölme özelliğini kanıtlamak için kullanın. Yani, herhangi bir $a, b,$ ve $c\neq0$ reel sayıları için, $a=b$ olacak şekilde, $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$ olduğunu kanıtlayın.
c$’nin 0$’a eşit olamayacağına dikkat edin. Bunun nedeni $0$ ile bölmenin imkansız olmasıdır.
Eşitliğin çarpma özelliğinin geçerli olduğunu ve $c\neq0$ olduğunu varsayalım.
O halde $\frac{1}{c}$ de bir reel sayıdır. a$ ve $b$ değerlerini $\frac{1}{c}$ ile çarpın.
$a\times\frac{1}{c}=b\times\frac{1}{c}$
Bu basitleştirir:
$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$
Böylece, eşitliğin çarpma özelliği ve herhangi bir $c\neq0$ reel sayısı verildiğinde, bölme özelliği geçerlidir. Yani, $a, b,$ ve $c$ öyle reel sayılar olsun ki, $a=b$ ve $c\neq0$ olsun. Then $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$.
Örnek 4
x$ öyle bir reel sayı olsun ki, $\frac{x}{8}=\frac{1}{3}$ olsun.
Değişkeni izole etmek ve $x$ değerini bulmak için eşitliğin çarpma özelliğini kullanın.
Örnek 4 Çözüm
8$, $x$’i böldüğünden, $x$’i $8$ ile çarpmak değişkeni izole eder.
Ancak, eşitlik yalnızca her iki tarafın da $8$ ile çarpılması gerektiğinde geçerlidir.
$\frac{x}{8}\times8=\frac{1}{3}\times8$
Bunu basitleştirirsek:
$x=\frac{8}{3}$
Dolayısıyla, $x$ değeri $\frac{8}{3}$ olur.
Örnek 5
x$ ve $y$ gerçek sayılar olsun, öyle ki $\frac{x}{4}=3z$ ve $\frac{y}{2}=6z$ olsun.
Eşitliğin çarpma özelliğini ve eşitliğin geçişli özelliğini kullanarak $x=y$ olduğunu kanıtlayın.
Örnek 5 Çözüm
İlk olarak, değişkenleri izole ederek hem $x$ hem de $y$ için çözün.
Eğer $\frac{x}{4}=3z$ ise, her iki tarafı 4$ ile çarptığınızda
$\frac{x}{4}\times4=3z\times4$
Bu basitleştirir:
$x=12z$
Benzer şekilde, eğer $\frac{y}{2}=6z$ ise, her iki tarafı da $2$ ile çarpın.
$\frac{y}{2}\times2=6z\times2$
Bu basitleştirir:
$y=12z
x=12z$ ve $y=12z$ olduğundan, geçişli eşitlik özelliği gerektiği gibi $x=y$ olduğunu belirtir.